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By Semenov K.N.

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IIY-XII -I IIRII R=AY-B fur X, Y,REMn,m (lR). •. ,cr n der GroBe nach geordnet sind (crILcr~"'Lcrn>O): IIAII 2=cr l , IIA- 111 2=l/cr n und somit cond 2 A=cr/cr n • 1st AEMn(lR) nichtsingular und symmetrisch, so ist cond 2 A=IAI I/IAnl, wenn die Eigenwerte AI, ... ,A n von A gemaB IAIILIA2IL"'LIAnl angeordnet sind. 11) fUr die euklidische Norm Gleichheit auf: Sei A=urv T eine Singularwertzerlegung von A, L:=diag(crl, •.. • v n ] und U:=[u l ... un ] orthogonal. 45 1st b=aAv I mit aElR'{O}, also x=av l , so gilt wegen AV=UE und i): IIbIlZ=lIaAvIIIZ=lIuoluIIIZ=lalol=IIAIIZllxIlZ.

E~ i) Dann existiert ein iE{ I, ... ,n}, so daB IAi-~ ISIIT-IETII"" giU. *A ,. , J J "" so enthalt Ki genau m Eigenwerte von A+E. ii) Sei Ai einfacher Eigenwert von A mit zugehorigem Rechtseigenvektor xi und Linkseigenvektor Yi' so da/3 IIxiIl2=IIYiIl2=1 ist. 13». lltiIl2 fur kE{I, ... ,n}, wenn tl, ... ,t n die SpaUen von T sind. ~: zu i): Die Eigenwerte von A+E sind auch Eigenwerte von T-I(A+E)T= =T-IAT+T-IET=D+T-IET=:D+B. Nach dem Satz von Gerschgorin fur die Matrix T-I(A+E)T gilt: Zum Eigenwert ~ von A+E gibt es ein iE{I, ...

Die einfaehe Genauigkeit liefert im allgemeinen ausreiehend genaue Resultate, und man wird die doppelt genaue Akkumulation nur verwenden, wenn die zusatzliehe Reehenzeit klein ist (abhangig vom Rechner) oder an besonders empfindliehen Stellen eines Algorithmus. Mit einer Rundungsfehleranalyse moehte man mogliehst obere Sehranken fUr den Fehler in dem vom Reehner gelieferten Ergebnis erhalten. Daher muS man fur jede der verwendeten elementaren Operationen den un~ gtinstigsten Fall betraehten, der auftreten kann; tatsaehlich aber konnen sieh die auftretenden Fehler sogar gegenseitig aufheben.

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by George
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